0.2.2 Conservation de l'énergie

La conservation de l'énergie s'écrit localement (dans $\Omega$ domaine de l'espace occupé par le fluide):

$$\rho \frac{{\rm d}E}{{\rm d}t} = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{... ..._{j}} - \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial Q_{i}}{\partial x_{i}}+R$$ (30)

où $E(\vec{x},t)$ désigne l'énergie interne spécifique (i.e par unité de masse) du milieu;
$\vec{Q}(\vec{x},t)$ est le flux de chaleur;
$R(\vec{x},t)$ est une densité volumique définissant un taux de chaleur fourni par des éléments extérieurs au milieu considéré (rayonnement, effet Joule, réaction chimique exothermique... etc); ce terme appelé «source» est une donnée du problème et est en fait nul dans un certain nombre d'applications⁷

Les termes $\frac{1}{\rho}\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij} \frac{\partial u_i}{\p... ...= \frac{1}{\rho}\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij} \varepsilon_{ij}(u)$(à cause de la symétrie de $\sigma_{ij}$) et $\frac{1}{\rho}(R-\vec{\nabla}\cdot\vec{Q})$ apparaissant dans le second membre de (30) après division par $\rho$, sont respectivement le taux d'énergie spécifique dû aux efforts intérieurs et le taux de chaleur spécifique reçue.

La condition aux limites associée à cette loi de conservation de l'énergie est:

$$Q = - \vec{Q}\cdot\vec{n} = \varpi - \vec{F}\cdot\vec{V} \;\;\;{\rm sur}\;\;\; \partial\Omega$$ (31)

$\varpi$ est le taux de chaleur surfacique fournit par l'extérieur de $\Omega$ au point frontière considéré
$\vec{F}$ est la densité surfacique d'efforts de contact (pressions, frottements,...) exercés par l'extérieur de $\Omega$ au point frontière considéré
$\vec{V}$ désigne la vitesse relative du milieu par rapport à la paroi; $\vec{F}\cdot \vec{V}$ est donc l'énergie dissipée par frottement sur la paroi.