1.2.4 Variation du modèle par rapport aux paramètres à ajuster

Pour mettre en ÷uvre la méthode de Levenberg-Marquardt -qui recherche le minimum du $\chi ^{2}$ par ajustement de paramètres choisis- il est nécessaire de savoir calculer les dérivées partielles du modèle par rapport aux paramètres à ajuster -ici $f_{p}, T$ et $\tau$. Ces calculs sont sans mystère mais fastidieux ^1.16 et consistent à dériver par rapport à chacun des paramètres d'ajustement l'expression (1.52) (en négligeant ici le bruit d'impact $V_I^2$ puisqu'on ne modélise de toutes façons pas le bruit des protons qui est dominant aux basses fréquences) ^1.17. Par rapport à la température T des électrons, on obtient:

$$\frac{\partial V^2_{R}}{\partial T} = \frac{ 8.138\,10^{-16} }{2\... ...L/L_D) e^{-z^2} u^{2} du} {[u^2+1-\phi(z)]^2+\pi z^2 e^{-2z^2}} \right. \right.$$

$$\left. \left. + \sqrt{\frac{\pi}{18}} \frac{\tau F'(\tau u_{p} L/L_D)}{(\omega/\omega_{p})^{1/\tau^2}} \right] \right)$$ (1.53)

avec ici:
-si $\omega \le \omega_{p}$ : $u_{p} \equiv 0$ et $\partial \Gamma/\partial T= C_{b}/2\pi\epsilon_{0}LT$
-si $\omega > \omega_{p}$: $u_p = \sqrt{(\omega^2/\omega_{p}^2 - 1)/3}$ et $\partial \Gamma/\partial T \equiv 0$,
et où $F'$ désigne la dérivée de la réponse d'antenne $F$; dans le cas d'une antenne filaire, on aura:

$$F^{'}_{{\rm fil}}(u) = \frac{2\sin^{4}(u/2)}{u^{3}} -\frac{ F_{{\rm fil}}(u)}{u}$$ (1.54)

Par rapport au paramètre ad-hoc $\tau$, on aura:

$$\frac{\partial V^2_{R}}{\partial \tau} = \frac{8.138\,10^{-... ...mega/\omega_{p})}{\tau^{3}}F(\tau u_{p} \frac{L}{L_D}) \right]$$ (1.55)

avec les mêmes conditions vis-à-vis du rapport $\omega/\omega_{p}$ qu'en (1.53).

Enfin, pour dériver (1.52) par rapport à $f_{p}$, le calcul explicite est difficile et coûteux (mêmes difficultés que pour le calcul de capacitance). On utilisera donc une méthode de dérivation numérique, telle que la méthode de Ridders-Richardson, ou une interpolation polynomiale suivie d'une dérivation algébrique, avec les précautions requises lors du choix du "pas de calcul" dans le premier cas^1.18, ou lors du choix judicieux du polynôme d'interpolation dans le second cas^1.19.

Figure 1.6: Variation relative du bruit thermique $V^2_{R}(f)$ sur Ulysse obtenue par le calcul des dérivées partielles logarithmiques de $V^2_R$ par rapport à $f_p$ (ligne bleue), $T$ (ligne rouge) et accessoirement $\tau$ (ligne jaune). Ces variations sont ici calculées pour les valeurs des paramètres suivantes: $f_p=23{\rm kHz} \pm 1\%, T=80000{\rm K}\pm 10\%$ et $\tau =2 \pm 10\%$