0.4.1 Un exemple simple de problème d'élastostatique

Il s'agit de trouver quels sont les contraintes générées à l'intérieur du plaque $\Omega$ trouée, pesante et encastrée sur un bord, du fait d'une traction ou compression dans son plan.

Ce problème est régi par les équations de Navier en deux dimensions et s'écrit avec les notations qui précèdent (où on pose $u=u_i, i=1,2$

$$\sum_{j=1}^{2} \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_{j}}(u) + f_{i}=0 \;\;\;\; {\rm dans}\;\;\; \Omega$$ (49)

$$\sigma_{ij}=\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\sum_{k=1}^{2}\varepsilon_{kk}(u)\delta_{ij} +\frac{E}{1+\nu}\varepsilon_{ij}(u)$$ (50)

$$u_{i}=0 \;\;\; {\rm sur}\;\;\; \Gamma_{1}$$ (51)

$$\sum_{j=1}^{2} \sigma_{ij}(u)\cdot n_{j} = F_{i} \;\;\;\; {\rm sur}\;\;\; \Gamma_{2} \cup \Gamma_{3} \cup \Gamma_{4}$$ (52)

Les données sont le module d'Young $E$ et le coefficient de Poisson $\nu$ du matériau, et les deux composantes des efforts surfaciques $f_{i}(x,y)$ (poids de la plaque) en chaque point $(x,y)$ de $\omega$ , ainsi que les deux composantes des efforts linéique $F_{i}(x,y)$ (traction/compression) appliqués en chaque point de $\Gamma_{2} \cup \Gamma_{3} \cup \Gamma_{4}$.
Les inconnues sont tout d'abord les deux composantes du déplacement $u_{i}(x,y)$ en chaque point $(x,y)$ de la plaque $\omega$, puis le tenseur des contraintes $\sigma_{ij}$ relié aux déplacements par la loi de comportement de Hooke (50) et la définition du tenseur des déformations (39).