0.3.1 Analogie avec la mécanique des fluides

Lorsqu'on cherche à définir la notion de déformation d'un milieu continu, ce concept est différent, selon qu'on peut introduire la notion de vitesse des particules qui forment le milieu (cas des fluides) ou lorsqu'on ne dispose que de la notion de déplacement par rapport à une position initiale privilégiée (cas des solides déformables). Dans le premier cas, on peut caractériser de façon naturelle la vitesse de déformation par un tenseur qui s'exprime en fonction de la vitesse d'une particule par

$$\varepsilon_{ij}(\vec{x},t)=\frac{1}{2} \left( \frac{\partia... ...partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} \right)$$ (39)

Dans le cas des solides déformables, on montre facilement que la déformation peut être caractérisée par un champ de tenseur, dit de Green-Lagrange, qui s'exprime de façon non-linéaire par rapport aux dérivées partielles du déplacement. Cependant, pour les milieux solides, les déplacements varient très lentement lorsqu'on passe de l'état initial à l'état déformé : on peut alors négliger les termes non-linéaires (quadratiques) du tenseur de Green-Lagrange et obtenir un tenseur des déformations linéarisées qui, considéré comme un opérateur différentiel sur le champ des déplacements a exactement la même expression que le tenseur des vitesses de déformation opérant sur le champ des vitesses en mécanique des fluides. Autrement dit, pour un solide se déformant lentement, le tenseur des déformations est donné par l'équation (39) avec $\vec{U}$ représentant le champ des déplacements par rapport à l'état initial du solide.

Comme dans le cas d'un fluide visqueux, on aura à écrire a priori la conservation de la masse et de la quantité de mouvement, mais sous l'hypothèse de petites perturbations, la divergence des déplacements est très petite et la conservation de la masse se réduit alors approximativement à la conservation de la masse volumique du solide lors de sa déformation $\rho \simeq \rho_{0}$. Compte tenu que $\vec{U}$ est un champ de déplacement, la conservation de la quantité de mouvement s'écrit:

$$\rho_{0}\frac{\partial^{2}u_{i}}{{\partial t}^{2}} = \sum_{j=1}^{3} \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + f_{i}$$ (40)

$\sigma_{ij}(\vec{x},t)$ sont les composantes du tenseur symétrique des contraintes.
$\vec{f}(\vec{x},t)=(f_{1},f_{2},f_{3})$ est la densité volumique des forces extérieures agissant sur le solide (généralement les forces de pesanteur)