1.2.1 Modéliser la réponse d'antenne

Pour calculer $\vec{J}(\vec{k})$, qui est rappelons-le la transformée de Fourier de la distribution de courant le long de l'antenne, il faut tout d'abord tenir compte de la géométrie d'antenne. On trouve couramment deux types d'antennes électriques sur les sondes spatiales : les paires d'antennes ``fils'' qui forment un dipôle électrique (ou un équivalent si elles ne sont pas alignées, c'est-à-dire en V) et les paires d'antennes ``boules'' ou double-sphères.

Antenne fils

Ulysse/URAP est équipé d'un dipôle électrique filaire, c'est-à-dire deux cylindres conducteurs, chacun de longueur $L$ et de rayon $a\ll L$, séparées par un isolant ``infiniment mince''. La ``vraie'' distribution de courant $\vec{J}(\vec{x})$ est généralement inconnue et nous supposons que le matériau des brins est parfaitement homogène et conducteur et qu'ainsi la distribution de charge est constante sur chaque brin^1.9.On aura, dans l'espace spectral, en considérant les antennes alignée sur l'axe $Ox_1$:

$$\vec{J}(\vec{k})= \int dx \vec{J(\vec{x})} e^{-i\vec{k}\cdot... ...4}{k^2_1 L} \sin^2(k_1L/2)[J_0(a \sqrt{k_2^2+k_3^2})]\vec{e_1}$$ (1.3)

où $J_0$ est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 0.

Antenne boules

Elles sont constituées de deux sphères de rayon $a$, séparées par une distance $L \gg a$, alignées sur $Ox_1$:

$$\vec{J}(\vec{k})= -\frac{2i}{k_1 L} \sin(k_1L/2)[\frac{\sin(ka)}{ka}]\vec{e_1}$$ (1.4)

La réponse d'antenne dans un plasma isotrope

Le terme dépendant de l'antenne, intervenant dans l'expression du bruit thermique, est $\vert\vec{k}\cdot\vec{J}\vert^2$. Supposons que nous ayons affaire à un plasma parfaitement isotrope: On peut définir la réponse d'antenne $F$ à une longueur d'onde donnée $k$ en intégrant le terme précédent dans toutes les directions de l'espace pour cette longueur d'onde:

$$F(k) = \frac{1}{32\pi} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \vert\vec{k}\cdot\vec{J(\vec{k})}\vert^2 \sin\theta d\theta d\phi$$ (1.5)

On aura ainsi pour une antenne fil de longueur $L$ et rayon $a$:

$$F_{{\rm fil}}(k) = \frac{Si(kL)-Si(2kL)/2 - 2\sin^4(kL/2)/kL}{kL} \left[ J_0^2(ka) \right]$$ (1.6)

où $Si$ dénote le sinus intégral: $Si(x)=\int_0^x\frac{\sin t}{t} dt$.
On aura de même pour une antenne boule:

$$F_{{\rm boule}}(k) = \frac{1}{4}\left( 1-\frac{\sin(kL)}{kL} \right) \left[\frac{\sin^2(ka)}{k^2a^2}\right]$$ (1.7)

Remarque: En général, on s'intéresse à des longueurs d'ondes grandes devant le rayon des brins ou des sphères ($ka\ll 1$), et les quantités entre crochets dans (1.6) et (1.7) sont pratiquement égales à 1.