0.4.3 Une méthode des éléments finis appliquée au problème précédent

Pour conclure ce chapitre , et en même temps introduire le cours spécifique sur l'élasticité linéaire par la méthode des éléments finis, disons simplement que, dans notre exemple cette méthode consistera:
-à choisir une base d'éléments (comportant des éléments de volume ou ici de surface qui mailleront $\Omega$, et des n÷uds(points) dans chacun de ces éléments pour définir une base de fonctions élémentaires) pour approximer l'espace des déplacements définis ci-dessus
-puis ensuite à assembler la matrice de rigidité du système $A.u=b$ grâce à la loi de comportement (50), ainsi que le second membre $b$ en tenant compte des poids et des tensions extérieures
-puis enfin à résoudre numériquement ce système par une méthode adaptée aux matrices creuses (citons ici la méthode de Crout), ce qui donnera le champ de déplacement $u$ en tout n¦ud du système.

Le calcul des contraintes peut ensuite ce faire en écrivant la loi de comportement (50) dans le même espace de dimension fini que celui utilisé pour calculer $u$, et donc sur des points liés au choix initial des éléments. Une des forces de la méthode est que le choix initial des éléments peut être revu à volonté (en particulier pour raffiner le calcul sur une partie du système sur laquelle on choisira un maillage plus serré), il suffit en effet de ré-exécuter le code correspondant à l'organigramme décrit ci-dessus. Notons cependant que la mise en ¦uvre numérique d'une telle méthode , même si elle est bien codifiée, n'est pas une mince affaire, mais il existe heureusement des logiciels qui feront ça pour vous¹⁴...