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0.3.3 Problèmes stationnaires

Le terme stationnaire n'a pas la même signification en mécanique des fluides et en mécanique des solides. Dans le premier cas, le mot stationnaire ne signifie pas absence de mouvement mais indépendance de la vitesse par rapport au temps. Dans le second cas l'inconnue cinématique est le déplacement et le mot stationnaire signifie équilibre statique: on est alors en élastostatique(ce qui est une vue de l'esprit puisqu'un déplacement s'effectue dans un laps de temps) ou en mouvement suffisamment lent pour que chaque configuration puisse être considérée comme en équilibre; on parle alors d'élasticité quasi-statique. De toutes façons, le terme d'accélération disparaît et le système (40) qui traduit la conservation de la quantité de mouvement est réduit à:
\begin{displaymath}
\sum_{j=1}^{3} \frac{\partial
\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + f_{i}=0
\end{displaymath} (47)

$\sigma_{ij}$ apparaît l'inconnue principale, mais dont la formulation vectorielle (c'est-à-dire en considérant le seul champ de déplacement $\vec{U}$ comme inconnu) déduite de (44) ou (45) aboutit aux équations de Navier:
\begin{displaymath}
- \mu \Delta
\vec{U} -(\lambda + \mu) \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot \vec{U}) =\vec{f}
\end{displaymath} (48)

équations10auxquelles on doit ajouter des conditions aux limites sur les bords du solide qui portent soit sur le champ des déplacements (par exemple encastrement d'un des bords, où l'on posera donc la condition $\vec{U}=0$), soit sur le champ des contraintes (pression ou traction appliquée sur un des bords du solide et une condition de type (5)), soit sur les deux champs 11, comme on le verra dans l'exemple traité ci-dessous.
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Michel Moncuquet
DESPA, Observatoire de Paris
2001-03-05