0.1.1 Introduction

Remarque préliminaire sur les notations utilisées

Les opérateurs vectoriels de divergence, rotationnel et gradient seront exprimés ici en utilisant l'opérateur nabla défini par $\vec{\nabla}=(\partial/\partial x_{1},\partial/\partial x_{2}, \partial/\partial x_{3})$ , i.e.

$$\begin{eqnarray*} &&{\rm div}\vec{U}=\vec{\nabla}\cdot\vec{U} \\ &&\vec{{\rm ro... ...}=\vec{\nabla}\wedge\vec{U}\\ &&\vec{{\rm grad}}f=\vec{\nabla}f \end{eqnarray*}$$

$\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker (=0 pour $i=j$ et 1 si $i=j$). La convention de sommation sur les indices répétés n'est pas utilisée ici.
$d/dt$ désigne la dérivée particulaire : lorsqu'une fonction $f$ est exprimée en fonction des coordonnées d'une particule en mouvement $\vec{x}(t)$, de vitesse $d\vec{x}/dt$, on appelle dérivée particulaire de $f(\vec{x},t)$, sa dérivée totale en t, i.e. incluant le mouvement de la particule, ainsi :

$$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + \vec{\nabla}f\cdot\frac{d\vec{x}}{dt} \end{eqnarray*}$$

Origine mécanique

Les équations générales qui régissent le mouvement d'un fluide homogène visqueux sont, dans $\Omega$ (domaine de l'espace ${\rm R}^{3}$ occupé par le fluide):

$$\rm {conservation\;de\;la\;masse} \;\;\; \frac{{\rm d}\rho}{{\rm d}t} + \rho \vec{\nabla}\cdot\vec{U} = 0$$ (1)

$$\rm {conservation\;de\;la\;quantite\;de\;mouvement} \;\;\; \rho\f... ...{{\rm d}t} = \sum_{j=1}^{3} \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + f_{i}$$ (2)

$$\rm {loi\;de\;comportement} \;\;\;\;\;\; \sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+\lambda\sum_{k=1}^{3}\varepsilon_{kk}(u)\delta_{ij} +2\mu\varepsilon_{ij}(u)$$ (3)

où $\vec{U}(\vec{x},t)$ est le vecteur vitesse de composantes $(u_{1},u_{2},u_{3})$ dans le repère considéré. $\vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ est le vecteur position (coordonnées d'Euler) de la particule considérée à l'instant $t$.
$\rho(\vec{x},t)$ est la masse volumique $(\rho > 0)$.
$\vec{f}(\vec{x},t)=(f_{1},f_{2},f_{3})$ est la densité volumique des forces extérieures agissant sur le fluide (généralement les forces de pesanteur)
$p(\vec{x},t)$ est la pression du fluide $(p \ge 0)$.
$\sigma_{ij}(\vec{x},t)$ sont les composantes du tenseur symétrique des contraintes.
$\varepsilon_{ij}(\vec{x},t)=\frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} \right)$ sont les composantes du tenseur des vitesses de déformation.
$\lambda$ et $\mu$ sont des coefficients de viscosité.

Les lois de conservation sont générales pour l'ensemble des milieux «continus», c'est-à-dire ceux que l'on peut raisonnablement considérer d'un point de vue macroscopique. Les lois de comportement¹ et les lois d'états (de nature thermodynamique) que nous ajouterons ensuite (milieu incompressible, barotrope, stratifié etc...) sont au contraire spécifique du milieu considéré.

Conditions aux limites

Les équations ci-dessus ne fournissent qu'une description locale (ou différentielle) d'un milieu «sans bord» et doivent, pour pouvoir à la fois être intégrées (en espace et/ou en temps) et être applicables à des cas réels, être accompagnées de conditions aux limites. Ces conditions aux limites, découlant respectivement des lois de conservation de la masse et la quantité de mouvement s'écrivent

$$\vec{U}=0 \;{\rm sur}\; \Gamma$$ (4)

si $\Gamma = \partial\Omega$ (frontière du volume $\Omega$) est une paroi fixe (sinon c'est la vitesse relative qui est nulle)

$$\sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij}n_{j} = F_{i} \;{\rm sur}\; \Gamma$$ (5)

$\vec{n}$ étant le vecteur unitaire de la normale extérieure à $\Omega$ et $\vec{F}$ la densité surfacique d'efforts appliqués au point considéré par la paroi $\Gamma$ sur le fluide².

Problème mathématique/numérique associé

Le problème mathématique/numérique correspondant aux équations posées précédemment va donc consister à intégrer un système d'équations aux dérivées partielles dont les données sont (au minimum):
-la forme du volume $\Omega$ (par exemple le contenant du fluide ou l'espace ${\rm R}^{3}$ moins l'obstacle en aérodynamique, etc...)
-les forces extérieures $\vec{f}$, souvent négligées
-les coefficients de viscosité $\lambda$ et $\mu$
et les inconnues sont:
- principalement la vitesse $\vec{U}$,
-secondairement la masse volumique $\rho$ et la pression $p$.

En réalité, le problème mathématique comme sa résolution numérique (ou éventuellement analytique) seront très différents selon les particularités des fluides considérés (loi de comportement et d'état) mais aussi selon les simplifications/approximations que nous pouvons effectuer (c'est-à-dire que nous pouvons justifier). C'est pourquoi nous allons passer en revue quelques cas (il y en a bien d'autres que ceux présentés ici) et décrire plus précisément pour chacun de ces cas le problème numérique à résoudre.